常听一些刚刚步入初中的学生说“数学怎么这么难啊”之类的话，并且在原本在小学时数学成绩不错的同学纷纷“马失前蹄”不幸落于马下，而且一落就再也起不来了。因此同学们学习数学的热情也减少了几分，对于数学几乎是躲之不及，更别提什么兴趣了。
造成这些问题的根本原因往往是同学们没有小学算术与中学代数有着明显不同，需要由算术头脑迈向代数智慧，正是因为许多同学没有抓住这一点，没有跨过去这个门槛，就造成了在初中的学习中对知识不理解、成绩下滑、学习热情不高、甚至厌学等情况频频出现。
小学算术与中学代数的区别是什么？算术是指有关数的概念的运算方法和计算技巧。而代数简单地说即以符代数，通过引进未知数，并对未知数加以运算。
从算术头脑到代数智慧，突出地表现为：从列算式解应用题转变为列方程解应用题的思维升级；从综合性的算术思维到分析性的代数思维的心理转换；从生活语言到形式化、符号化语言的信息转译含有未知数的等式叫方程。
设未知数，就赋予了未知数与已知数相同的权利，消融了已知数与未知数的矛盾，使捉摸不定的未知数有一个确定的、看得见的形式。
等号表示相等及其派生的一系列的性质与操作功能。方程是刻画观察问题的有效模型之一一部代数史，从一个角度看就是研究方程、探讨方程解的历史。
与代数打交道一定会遇到x这个未知量，它是第一个闯入人类思维的符号，一旦建立起这样的符号体系，代数的研究就进入到更高的抽象层次。
例如小学的应用题大多可以用算术法来解题，所谓“算术法”就是指一个全部由数字和符号构成的式子，因为计算简便，所以成了小学六年来同学们解题的“主菜”，即使小学里学习了方程，但也只能算是“配菜”而已。可进入初中后就不同了，自初一上学期详细的学习了一元一次方程后，渐渐的，凡是应用题我们第一反应就是设未知数列方程，而对原先的“算术法”没什么印象了。这是因为，用算术法来解应用题大多需要用逆向思维，而方程所用的大多是正向思维，两者孰难孰易一目了然。
重在知识范围与思维方式两个方面，要学好初中数学，一定要让自己的思维更富逻辑性，要学会用数学的眼光去发现问题，分析问题和解决问题。
案例1.如图，从卫生纸的包装纸上得到以下资料：两层格，每格11.4cm×11cm，图①．用尺量出整卷卫生纸的半径（R）与纸筒内芯的半径（r），分别为5.8cm和2.3cm，图②．那么该两层卫生纸的厚度为多少cm？（π取3.14，结果精确到0.cm）。
失意的人常叹息“人情比纸薄”，但人情虽难度，薄纸却可测，设x为每两层卫生纸的厚度，如何去列方程？试从不同角度计算卫生纸的体积。
如图①，体积=拉出来的卫生纸总面积×厚度=11。4×11××x。
如图②，体积=整卷卫生纸体积一纸筒及内部的体积
不同品牌的卫生纸厚度相差多少？冰箱用的保鲜纸是否比卫生纸更薄？家居用品中还有哪些的厚度可用这种方法计算出来？
许多人误以为学习数学等同于了解定理与其证明、背诵与套用公式、熟读例题与做练习题。其实，数学既是一门抽象的学科，亦与生活息息相关；它既是理性的追求，又是充满感性之美的。
案例2．中国现行的个人所得税法自年9月1日起施行，其中规定个人所得税纳税办法如下：
一．以个人每月工资收入额减去元后的余额作为其每月应纳税所得额；
二．个人所得税纳税税率如下表所示：
（1）若甲、乙两人的每月工资收入额分别为元和元，请分别求出甲、乙两人的每月应缴纳的个人所得税；
（2）若丙每月缴纳的个人所得税为元，则丙每月的工资收入额应为多少？
：（1）根据题意得：﹣＝（元），×3%+×10%＝45+＝（元），
﹣＝（元），×3%+0×10%+×20%＝45++＝（元），
则甲、乙两人的每月应缴纳的个人所得税分别为元，元；
（2）设丙每月应纳税所得额应为x元，
根据题意得：×3%+0×10%+（x﹣）×20%＝，
解得：x＝．
∴丙每月的工资收入额应为：+＝0（元），
则丙每月的工资收入额应为0元．
变式1。已知同案例2。求解问题如下：
（1）若甲、乙两人的每月工资收入额分别为元和元，请分别求出甲、乙两人的每月应缴纳的个人所得税；
（2）若丙每月收入为x元，且＜x＜，写出丙每月缴纳的个人所得税y（元）与x的函数关系式．
：（1）甲的税款（﹣）×3%＝×3%＝15元，
乙的税款×3%+（﹣﹣）×10%＝元；
（2）＜x＜，由于＜x﹣＜，为第三阶段．故应交税款
y＝×3%+0×10%+（x﹣﹣）×20%＝0。2x﹣
变式2.从锦江区社保局获悉，我区范围内已经实现了全员城乡居民新型社会合作医疗保险制度，享受医保的城医院就医并按规定标准报销部分医疗费用，下表是住院费用报销的标准：
（说明：住院费用的报销采取分段计算方式，如：某人一年住院费用共00元，则0元按40%报销．0元按50%报销，余下的元按60%报销：实际支付的住院费＝住院费用﹣按标准报销的金额）
(1)若我区居民张大哥一年住院费用为0元，则按标准报销的金额
为______元，张大哥实际支付了_____元的住院费．
（2）若我区居民王大爷一年内本人实际支付的住院费用为2元，则王大爷当年的住院费用为多少元？
：（1）由题意可得，
按标准报销的金额为：0×40%+（0﹣0）×50%＝+0×50%＝+7＝9（元），
张大哥实际支付了：0﹣9＝10（元），
故答案为：9，10；
（2）设王大爷当年的住院费用为x元，
0×（1﹣40%）+（0﹣0）×（1﹣50%）+（x﹣0）×（1﹣60%）＝2，
解得，x＝
答：王大爷当年的住院费用为元．
以上两个问题从一个侧面展示数学在生活中的应用，数学思维渗透于生活与社会的方方面面，时刻在影响着我们的行为和思维方式。
花拉子米（约一约）是乌兹别克最著名的数学家，《印度计算法》《对消与还原》是他的两本专著。其中，“还原”是指使方程平衡而进行的移项，在拉丁文中被译成“代数”。
案例3.为充分利用雨水资源，幸福村的小明和相邻爷爷家采取了修建蓄水池、屋顶收集雨水的做法。已知小明和爷爷家的屋顶收集雨水面积、蓄水池的容积和蓄水池已有水的容量如下表：
气象预报即将会下雨，为了收集尽可能多的雨水，下雨前需从爷爷家的蓄水池中抽取多少立方米的水注入小明家的蓄水池？
解仔细阅读，深入理解题意，充分运用收集雨水面积的量，构建同的数学模型解决问题。
数学是关于模式的学科，数学模型是数学描述世界、沟通世界的桥梁，是解决实际问题的关键。
案例3中构建模型的不同方法，展现了算术思维与代数智慧的不同特点。代数智慧的关键是：信息转换，分析数据；恰当设元，布列方程。
欧拉是18世纪瑞士著名的数学大师．他的一生都致力于数学各个领域的研究，并取得非凡的成就．在他所著的《代数学入门》一书中就曾经出现过好几道和遗产分配有关的数学问题．他构思这些问题的初衷，正是为了强化方程解题的适用和便利．
你能用适当的方法解答下面问题：
父亲死后，四个儿子按下述方式分了他的财产：老大拿了财产的一半少0英镑：老二拿了财产的1/3少英镑；老三拿了恰好是财产的1/4；老四拿了财产的1/5加上英镑．问整个财产有多少？每个儿子各分了多少？
多年前法国著名哲学家、数学家笛卡尔曾在《指导思维的法则》一书中提出过一个设想：把所有的数学问题转化为代数问题，再把所有代数问题转化为方程问题。虽然笛卡尔的设想未能实现，但也充分说明了方程的重要性。